行列式的计算方法 行列式的计算方法行列式的计算是线性代数中的基本技能，掌握多种计算方法可以提高解题效率。
展开法按行展开方法：选择一行，按该行展开行列式。
公式：∣A∣=∑j=1n(−1)i+jaijMij|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}∣A∣=∑j=1n(−1)i+jaijMij
其中 MijM_{ij}Mij 是元素 aija_{ij}aij 的余子式。
选择原则：
选择零元素较多的行选择元素较小的行选择便于计算的行例子： 计算 ∣123014560∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}105216340
解：选择第二行（有零元素）展开： ∣A∣=0×M21+1×M22+4×M23|A| = 0 \times M_{21} + 1 \times M_{22} + 4 \times M_{23}∣A∣=0×M21+1×M22+4×M23 =1∣1350∣+4∣1256∣= 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=11530+41526 =1(1×0−3×5)+4(1×6−2×5)= 1(1 \times 0 - 3 \times 5) + 4(1 \times 6 - 2 \times 5)=1(1×0−3×5)+4(1×6−2×5) =1(−15)+4(−4)=−15−16=−31= 1(-15) + 4(-4) = -15 - 16 = -31=1(−15)+4(−4)=−15−16=−31
按列展开方法：选择一列，按该列展开行列式。
公式：∣A∣=∑i=1n(−1)i+jaijMij|A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}∣A∣=∑i=1n(−1)i+jaijMij
例子： 计算 ∣201130024∣\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}210032104
解：选择第二列（有零元素）展开： ∣A∣=0×M12+3×M22+2×M32|A| = 0 \times M_{12} + 3 \times M_{22} + 2 \times M_{32}∣A∣=0×M12+3×M22+2×M32 =3∣2104∣+2∣2110∣= 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=32014+22110 =3(2×4−1×0)+2(2×0−1×1)= 3(2 \times 4 - 1 \times 0) + 2(2 \times 0 - 1 \times 1)=3(2×4−1×0)+2(2×0−1×1) =3(8)+2(−1)=24−2=22= 3(8) + 2(-1) = 24 - 2 = 22=3(8)+2(−1)=24−2=22
性质法利用基本性质简化策略：
利用行（列）加法性质，将行列式化为上三角或下三角形式利用行（列）交换性质，将零元素较多的行（列）移到便于展开的位置利用提取公因子性质，简化计算例子： 计算 ∣123246369∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}123246369
解：
将第一行的-2 倍加到第二行： ∣123000369∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}103206309
将第一行的-3 倍加到第三行： ∣123000000∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}100200300
由于有一行全为零，所以行列式为零。
分块法适用条件：行列式可以分块，且某些块为零或为单位矩阵。
公式：
对于 ∣AB0D∣\begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D \end{vmatrix}A0BD，有 ∣A∣⋅∣D∣|A| \cdot |D|∣A∣⋅∣D∣对于 ∣A0CD∣\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & D \end{vmatrix}AC0D，有 ∣A∣⋅∣D∣|A| \cdot |D|∣A∣⋅∣D∣例子： 计算 ∣1200340000210034∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}1300240000230014
解： 这是一个分块对角矩阵： ∣A∣=∣1234∣⋅∣2134∣|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}∣A∣=1324⋅2314 =(1×4−2×3)×(2×4−1×3)= (1 \times 4 - 2 \times 3) \times (2 \times 4 - 1 \times 3)=(1×4−2×3)×(2×4−1×3) =(4−6)×(8−3)=(−2)×5=−10= (4 - 6) \times (8 - 3) = (-2) \times 5 = -10=(4−6)×(8−3)=(−2)×5=−10
特殊方法范德蒙德行列式定义：形如 ∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1 的行列式。
公式：∣V∣=∏1≤i 例子： 计算 ∣111123149∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}111124139 解： ∣V∣=(2−1)(3−1)(3−2)=1×2×1=2|V| = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2∣V∣=(2−1)(3−1)(3−2)=1×2×1=2 循环行列式定义：形如 ∣abccabbca∣\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}acbbaccba 的行列式。 公式：∣A∣=a3+b3+c3−3abc|A| = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc∣A∣=a3+b3+c3−3abc 例子： 计算 ∣123312231∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}132213321 解： ∣A∣=13+23+33−3×1×2×3|A| = 1^3 + 2^3 + 3^3 - 3 \times 1 \times 2 \times 3∣A∣=13+23+33−3×1×2×3 =1+8+27−18=18= 1 + 8 + 27 - 18 = 18=1+8+27−18=18 计算技巧观察法技巧： 观察行列式是否有特殊结构寻找零元素较多的行或列寻找成比例的行或列寻找可以分块的结构递推法适用：n 阶行列式与(n-1)阶行列式有关系。 例子： 计算 ∣2100121001210012∣\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}2100121001210012 解： 按第一行展开： ∣A∣=2∣210121012∣−1∣110021012∣|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}∣A∣=2210121012−1100121012 继续展开得到递推关系。 练习题练习 1计算行列式 ∣210132014∣\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}210131024。 参考答案解题思路： 按第一行展开计算。 详细步骤： ∣A∣=2∣3214∣−1∣1204∣+0∣1301∣|A| = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}∣A∣=23124−11024+01031 =2(3×4−2×1)−1(1×4−2×0)+0= 2(3 \times 4 - 2 \times 1) - 1(1 \times 4 - 2 \times 0) + 0=2(3×4−2×1)−1(1×4−2×0)+0 =2(12−2)−1(4)=2(10)−4=20−4=16= 2(12 - 2) - 1(4) = 2(10) - 4 = 20 - 4 = 16=2(12−2)−1(4)=2(10)−4=20−4=16 答案：行列式的值为 16。 练习 2利用性质法计算 ∣123246111∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}121241361。 参考答案解题思路： 利用行加法性质简化计算。 详细步骤： 将第一行的-2 倍加到第二行： ∣123000111∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}101201301 由于第二行全为零，所以行列式为零。 答案：行列式的值为 0。 练习 3计算范德蒙德行列式 ∣1111241416∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}1111241416。 参考答案解题思路： 使用范德蒙德行列式的公式。 详细步骤： x1=1,x2=2,x3=4x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 4x1=1,x2=2,x3=4 ∣V∣=(2−1)(4−1)(4−2)=1×3×2=6|V| = (2-1)(4-1)(4-2) = 1 \times 3 \times 2 = 6∣V∣=(2−1)(4−1)(4−2)=1×3×2=6 答案：行列式的值为 6。 练习 4计算分块行列式 ∣1200340000120034∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}1300240000130024。 参考答案解题思路： 利用分块行列式的性质。 详细步骤： 这是一个分块对角矩阵 ∣A∣=∣1234∣⋅∣1234∣|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}∣A∣=1324⋅1324 =(1×4−2×3)2=(4−6)2=(−2)2=4= (1 \times 4 - 2 \times 3)^2 = (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4=(1×4−2×3)2=(4−6)2=(−2)2=4 答案：行列式的值为 4。 练习 5计算循环行列式 ∣111111111∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}111111111。 参考答案解题思路： 使用循环行列式的公式。 详细步骤： a=b=c=1a = b = c = 1a=b=c=1 ∣A∣=13+13+13−3×1×1×1=3−3=0|A| = 1^3 + 1^3 + 1^3 - 3 \times 1 \times 1 \times 1 = 3 - 3 = 0∣A∣=13+13+13−3×1×1×1=3−3=0 答案：行列式的值为 0。 上一章节行列式的基本概念行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅是矩阵的一个数值特征，更在几何学、物理学等领域有重要应用。 下一章节行列式的应用行列式不仅在数学理论中有重要地位，在实际应用中也有广泛用途。 课程路线图1高等数学之函数探秘 先修课程函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。 前往课程 2向量代数和空间解析几何 先修课程掌握向量运算和空间中点、线、面的方程及其相互关系。 前往课程 3线性代数 当前课程掌握行列式、矩阵、向量、线性方程组等，理解线性空间的抽象结构。 前往课程